Koncepcja oszczędnego próbkowania

• Klasyczne próbkowanie (granica Nyquista) wymaga dużej liczby próbek, co prowadzi do dużych zbiorów danych.
• Oszczędne próbkowanie (compressed sensing): pozwala na wierną rekonstrukcję sygnału przy mniejszej liczbie próbek niż wymaga granica Nyquista.
• Kompresja danych już na poziomie akwizycji, redukcja objętości danych.
• Przykłady zastosowań: przetwarzanie obrazów (JPEG: 15 MB → 150 KB), Internet rzeczy, medycyna (MRI), przetwarzanie wideo.

Warunki oszczędnego próbkowania

1. Rzadkość (sparsity):
   • Strumień rzadki (K-rzadki): ma niewiele składowych różnych od zera (S << N, gdzie N to długość strumienia).
   • Strumienie prawie rzadkie: wiele składowych bliskich zera.
   • Jeśli sygnał nie jest rzadki, stosuje się transformację (np. Fouriera, falkowa) do dziedziny, gdzie jest rzadki.
2. Niska koherencja:
   • Dotyczy relacji między bazą pomiarową (Φ) a bazą, w której sygnał jest rzadki (ψ).
   • Niska koherencja: energia składowej rzadkiej rozproszona w wielu próbkach.
   • Zapewnia się ją przez niejednorodne próbkowanie, unikając aliasingu.

Matematyczny opis procesu

• Sygnał f = ψx, gdzie ψ to baza rzadka, x to współczynniki.
• Pomiary: y = Φf = Φψx = Ax, gdzie A to macierz pomiarów.
• Liczba pomiarów: K ≥ C * μ²(Φ,ψ) * S * log(N), gdzie μ to koherencja, S to rzadkość, N to rozmiar sygnału.

Bazy w oszczędnym próbkowaniu

• Baza ortogonalna: minimalny zbiór funkcji do odtworzenia sygnału (np. fourierowska dla sygnałów stacjonarnych, falkowa dla struktur przejściowych).
• Przykłady: transformata falkowa (JPEG2000), dyskretna transformata kosinusowa (JPEG), transformata Gabora, krótko-czasowa transformata Fouriera, transformata krzywkowa.
• Dla obrazów: falkowa, krzywkowa; dla mowy: krótko-czasowa Fouriera; dla sygnałów biomedycznych: falkowa, Gabora.

Rekonstrukcja sygnału

• Odbywa się w dziedzinie rzadkiej, rozwiązując układ y = Ax.
• Problem: więcej niewiadomych niż równań (A nie jest kwadratowa).
• Rozwiązania:
  • Norma l0: minimalizacja liczby niezerowych składowych (algorytm pogoni za dopasowaniem).
  • Norma l1: minimalizacja sumy wartości bezwzględnych (algorytm pogoni za bazą, złożoność O(N³)).
  • Inne metody: LASSO, Greedy pursuit, Iterative thresholding, StOMP.
• Przykład: rekonstrukcja obrazu 1 Mpx z 25K niezerowych współczynników falkowych przy 96K losowych pomiarów.

Zastosowania

• MRI: szybsze skanowanie (x2.5), niejednorodne próbkowanie w k-przestrzeni, transformacja falkowa, większy komfort pacjenta.
• Cyfrowe aparaty fotograficzne: rekonstrukcja obrazu z mniejszej liczby pomiarów (np. 1300 zamiast 15536 pikseli).
• Internet rzeczy: monitorowanie w sieciach bezprzewodowych, redukcja danych w warstwie sensorycznej.