Metody odszumiania strumieni danych

Wprowadzenie

• Cztery podstawowe typy filtrów (ze względu na charakterystykę amplitudową):
  • Dolnoprzepustowy
  • Górnoprzepustowy
  • Pasmowoprzepustowy
  • Środkowozaporowy (notch, np. eliminacja zakłóceń 13.3–19.9 Hz)
• Motywacja dla filtracji sygnałów:
  • Usuwanie niepożądanych składowych (zakłóceń)
  • Ekstrakcja pożądanych cech
  • Modyfikacja sygnałów
  • Wzmocnienie wybranych cech

Usuwanie zakłóceń

• Model pomiaru: y(k) = s(k) + v(k), gdzie s(k) to sygnał, v(k) to zakłócenia
• Niskie częstotliwości (v_L):
  • Filtr: ṽ_L(k) = F_L(y(k))
  • Optymalizacja: min Σ (y(k) - F_L(y(k)))^2
  • Wynik: s̃(k) = y(k) - ṽ_L(k)
• Wysokie częstotliwości (v_H):
  • Filtr: ṽ_H(k) = F_H(y(k))
  • Optymalizacja: min Σ (y(k) - F_H(y(k)))^2
  • Wynik: s̃(k) = y(k) - ṽ_H(k)

Typy filtrów

• Pasywne: elementy RLC lub piezoelektryczne
• Aktywne: RLC + wzmacniacze operacyjne (lepsze właściwości)
• Liniowe: spełniają zasadę superpozycji, y = Σ f(k)u(t-k)
  • Właściwości: liniowość, niezmienność w czasie, przyczynowość
  • Projektowanie: równania różnicowe
  • Rodzaje:
    • FIR (Finite Impulse Response): y(k) = Σ b_m u(k-m)
      • Stabilne, bez pętli sprzężenia zwrotnego
      • Łatwe projektowanie, duża złożoność obliczeniowa
    • IIR (Infinite Impulse Response): y(k) = b_0 u(k) - Σ a_m y(k-m-1)
      • Niska złożoność, ale potencjalna niestabilność
      • Wrażliwe na błędy zaokrągleń
• Nieliniowe: nie spełniają superpozycji, usuwają nieaddytywne zakłócenia
  • Przykłady:
    • Medianowy: sortowanie punktów, wybór mediany
      • Odporny na zakłócenia impulsowe
      • Duża złożoność obliczeniowa
    • Entropijny
• Adaptacyjne: zmieniają parametry w trakcie działania
  • Składniki: filtr + algorytm adaptacji
  • Przykład: Filtr Wienera
    • Bazuje na FIR, stacjonarne sygnały, addytywne zakłócenia
    • Adaptacja: minimalizacja błędu średniokwadratowego
  • Algorytmy adaptacyjne:
    • Gradientowy: b^(i+1) = b^(i) + η ∇_b Q(b), Q(b) = E[e^2(k)]
    • RLS (Recursive Least Squares): duża zbieżność, wysoki koszt obliczeniowy

Filtr Kalmana

• Estymacja wektora stanu w liniowych układach dynamicznych
• Założenie: gaussowski szum procesu (n) i pomiaru (v)
• Model:
  • x(k+1) = A(k)x(k) + n(k) – równanie stanu
  • z(k) = H(k)x(k) + v(k) – model pomiaru
• Fazy: predykcja i korekcja
• Korekcja:
  • Wzmocnienie Kalmana: K = P_k^- H^T (H P_k^- H^T + ...)
  • Aktualizacja stanu i macierzy kowariancji
• Warianty: EKF, UKF, filtr cząsteczkowy

Transformacje sygnałów

• Transformacja falkowa:
  • d_{j,m} = ∫ y(t) ψ_{j,m}(t) dt
  • Filtracja: eliminacja progowa
    • Twarda: d̃ = d jeśli |d| > T, inaczej 0
    • Miękka: d̃ = sgn(d)(|d| - T) jeśli |d| > T, inaczej 0
• Transformacja Hilberta-Huanga (EMD):
  • Rekonstrukcja: s̃(k) = Σ h_n(k) dla wybranych IMF
  • Wybór IMF: np. wykładnik Hursta
  • Eliminacja progowa:
    • Twarda: h̃_n(z_n(m)) = h_n(z_n(m)) jeśli |h_n| > T_n, inaczej 0
    • Miękka: h̃_n(z_n(m)) = sgn(h_n)(|h_n| - T_n) jeśli |h_n| > T_n, inaczej 0
  • Operacje na przedziałach, by zachować właściwości IMF

Miary jakości odszumiania

• SNR: 10 log_10((Σ y(k)^2)/(Σ (y(k) - s(k))^2))
• PSNR: 10 log_10((max(y(k))^2)/(Σ (y(k) - s(k))^2))
• RMSE: sqrt((1/K) Σ (y(k) - s(k))^2)
• MAE: (1/K) Σ |y(k) - s(k)|

Odszumianie w Pythonie (biblioteka scipy.signal)

• Funkcja filtfilt (filtr zerofazowy, forward-backward):
  • Projektowanie filtrów Butterworth: butter(N, Wn, 'typ')
    • Typy: lowpass, highpass, bandpass, bandstop
    • Przykład:

      b, a = signal.butter(3, 0.05, 'lowpass')
      filtered = signal.filtfilt(b, a, data)

• Filtr medianowy: scipy.ndimage.median_filter
  • Przykład:

    y1 = signal.medfilt(x2, 21)