Modelowanie strumieni danych

Wprowadzenie

• Model: celowo uproszczona reprezentacja fragmentu rzeczywistości.
• Typy modeli:
  • Fizyczne
  • Komputerowe
• Podział ze względu na strukturę:
  • Liniowe
  • Nieliniowe
  • Statyczne
  • Dynamiczne
  • Stacjonarne
  • Niestacjonarne

Modele liniowe (rodzina ARMAX)

• ARMAX (AutoRegressive Moving Average with eXogenous input): y(k) + a₁y(k-1) + ... + aₘₐy(k-Mₐ) = b₁u(k-1) + ... + bₘ₆u(k-M₆) + c₁e(k-1) + ... + cₘ₆e(k-M₆)
  • e: biały szum
  • a: parametry AR
  • b: parametry wejścia
  • c: parametry MA
  • Zastosowania: predykcja (np. obciążenie sieci energetycznej)
• AR (AutoRegressive): y(k) + a₁y(k-1) + ... + aₘₐy(k-Mₐ) = e(k)
  • Bazuje na przeszłych wartościach wyjścia
  • Oznaczenie: AR(1), AR(3) itp.
• MA (Moving Average): y(k) + c₁e(k-1) + ... + cₘ₆e(k-M₆) = e(k)
  • Zależy od błędów modelowania (biały szum, rozkład normalny)
  • Oznaczenie: MA(1), MA(3) itp.
• ARX (AutoRegressive with eXogenous input): y(k) + a₁y(k-1) + ... + aₘₐy(k-Mₐ) = b₁u(k-1) + ... + bₘ₆u(k-M₆) + e(k)
• ARMA (AutoRegressive Moving Average):
  • Kombinacja AR i MA
• Właściwości ARMAX:
  • Dziedzina czasu
  • Strumienie stacjonarne: stała średnia, wariancja, rozkład prawdopodobieństwa

Modele odcinkowo-liniowe

• y(k) = a₀⁽ⁱ⁾ + Σₘₐ aₘₐ⁽ⁱ⁾y(k-mₐ) + Σₘ₆ bₘ₆⁽ⁱ⁾u(k-m₆)
• Liczba punktów pracy zależy od danych pomiarowych
• Więcej punktów pracy zwiększa złożoność obliczeniową
• Przykład: DFA (Detrended Fluctuation Analysis)
  • Analiza długoterminowych zależności w niestacjonarnych strumieniach
  • Usuwa trend z danych

Szereg Volterry

• Ogólna postać: y(k) = k_imp0 + Σⱼ Σₘ₁...ₘⱼ k_impj(m₁,...,mⱼ)u(k-m₁)...u(k-mⱼ)
• Model pierwszego rzędu: y(k) = k_imp0 + Σₘ k_imp1(m)u(k-m)
• Charakterystyka:
  • Modeluje słabe nieliniowości
  • Jądra (k_imp) opisują liniowe i nieliniowe zachowania
  • Złożoność obliczeniowa rośnie z rzędem modelu
• Zastosowania: medycyna (neuronauka)
• Inspiracja: szereg Taylora z pamięcią

Modele blokowo zorientowane

• Kombinacja liniowych modeli dynamicznych i nieliniowych statycznych
• Model Wienera: y(k) = Σⱼ bⱼ(Σₘ k_imp1(m)u(k-m))ʲ
  • Nieliniowość na wyjściu
• Model Hammersteina: y(k) = Σₘ k_imp1(m)(Σⱼ bⱼuʲ(k-m))
  • Nieliniowość na wejściu
• Model Wienera-Hammersteina: y(k) = Σₘ₂ k_imp2(m₂)Σⱼ bⱼ[Σₘ₁ k_imp1u(k-m₂-m₁)]
  • Dwa bloki dynamiczne i statyczny między nimi

Modele NARMAX

• Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous input
• Przykład NARX: y(k) = g_nx(y(k-1),...,y(k-M_y), u(k-d_u),...,u(k-d_u-M_u), e(k-1),...,e(k-M_e)) + e(k)
  • g_nx: nieliniowa funkcja
• NARX z siecią neuronową: y(k) = b₀ + Σₘ bₘΦₘ(x_nx(k)) + e(k)
  • x_nx(k): wektor przeszłych wyjść i wejść
• NARMAX z uczeniem głębokim: y(k) = B_h Φ_hN_h(W_hN_h Φ_hN_h-1(...W_h1 x_h(k) + b_01) + b_02...) + b_0N_h
• NARMAX z transformacją falkową: s(k) = Σₘ c_j0,m φ_j0,m(t) + Σⱼ Σₘ d_j,m ψ_j,m(t)
  • φ_j0,m(t): funkcja skalująca
  • Przykłady: WTVAR, WTVARX
    • WTVAR: y(k) = Σₘₐ Σₘ_w cₘₐ,ₘ_w yₘ_w(k-mₐ) + e(k)
    • WTVARX: y(k) = Σₘₐ Σₘ_w cₘₐ,ₘ_w yₘ_w(k-mₐ) + Σₘ₆ Σₘ_u dₘ₆,ₘ_u uₘ_u(k-m₆) + e(k)

Modele TVARMAX

• Modelowanie niestacjonarnych sygnałów
• Warianty:
  • TVAR: y(k) = Σₘₐ aₘₐ(k)y(k-mₐ) + e(k)
  • TVARMA: y(k) = Σₘₐ aₘₐ(k)y(k-mₐ) + Σₘ₆ cₘ₆(k)e(k-m₆)
  • TVARX: y(k) = Σₘₐ aₘₐ(k)y(k-mₐ) + Σₘ₆ bₘ₆(k)u(k-m₆)
  • TVARMAX: y(k) = Σₘₐ aₘₐ(k)y(k-mₐ) + Σₘ₆ bₘ₆(k)u(k-m₆) + Σₘ₆ cₘ₆(k)e(k-m₆)