Transformacja Hilberta-Huanga i algorytm EMD

Wprowadzenie

• Transformacja Hilberta-Huanga (HH): podejście empiryczne, w przeciwieństwie do transformacji Fouriera czy falkowej, definiowane przez algorytm, a nie formalizmy matematyczne.
• Główne elementy:
  • Algorytm EMD (Empirical Mode Decomposition).
  • Transformacja Hilberta.

Transformacja Hilberta

• Służy do analizy zmian amplitudy i częstotliwości sygnału w czasie.
• Wynik: spektrum Hilberta (rozkład czasowo-częstotliwościowy).
• Sygnał analityczny: z(t) = x(t) + j H[x(t)] = a(t) \exp[j \phi(t)].
• Transformacja Hilberta: H[x(t)] = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x(\tau)}{t-\tau} d\tau
• Amplituda chwilowa: a(t) = \sqrt{x^2(t) + H^2[x(t)]}
• Faza chwilowa: \phi(t) = \arctan\left(\frac{H[x(t)]}{x(t)}\right)
• Częstotliwość chwilowa: \omega(t) = \frac{d\phi(t)}{dt}

Algorytm EMD

• Dekompozycja sygnału na składowe modalne IMF (Intrinsic Mode Functions) o zmiennej amplitudzie i częstotliwości.
• Sygnał: x(t) = \sum_{n=1}^N \text{imf}_n(t) + \text{reszta}(t), gdzie reszta jest monotoniczna.
• Kroki algorytmu:
  1. Znajdź lokalne maksima i minima sygnału x(t).
  2. Interpoluj wielomianowo, tworząc obwiednię górną i dolną.
  3. Oblicz średnią obwiedni: m_1(t).
  4. Odejmij średnią: h(t) = x(t) - m_1(t).
  5. Sprawdź, czy h(t) spełnia kryteria IMF:
     • Liczba przejść przez zero ≈ suma maksimów i minimów (różnica ≤ 1).
     • Odchylenie standardowe SD < 0.1 (wartość empiryczna).
  6. Jeśli nie IMF, powtórz kroki 1–5 na h(t). Jeśli IMF, odejmij od sygnału: x'(t) = x(t) - h(t), i szukaj kolejnej IMF.
  7. Kontynuuj, aż reszta będzie monotoniczna.
• Charakterystyka:
  • Oddziela składowe nakładające się w czasie i częstotliwości.
  • IMF mogą pełnić rolę banku filtrów.
• Zastosowania: analiza EKG, EEG, odszumianie, ekstrakcja cech (np. mammogramy).

Warianty EMD

• EEMD (Ensemble EMD): Dodaje biały szum do sygnału, uśrednia IMF, redukuje mieszanie modów.
• CEEMD (Complementary EEMD): Generuje szum w parach, eliminuje mieszanie modów i aliasing, bardziej wymagający obliczeniowo.
• CEEMDAN (Complete EEMD with Adaptive Noise): Zbiór IMF jest zupełny, mniejsza liczba obliczeń.

Problem „Mode Mixing”

• Przyczyny:
  • Komponent sygnału rozkłada się na kilka IMF.
  • Nieciągłości w sygnale.
• Rozwiązania: EEMD, CEEMD, CEEMDAN.

Porównanie z innymi metodami

• W odróżnieniu od STFT (stałe okno) czy Wignera-Ville’a (interferencje), HH oferuje adaptacyjną dekompozycję.
• Lepsza od transformacji falkowej w analizie niestacjonarnych sygnałów dzięki empiryczności.