Transformacja Fouriera - wprowadzenie

• Analiza częstotliwościowa sygnału: pozwala na interpretację zmian w sygnale (prędkość, intensywność), np. odszumianie, usuwanie trendów.
• Relacja między dziedziną czasu a częstotliwości: sygnał jako suma ruchów obrotowych na okręgu.
• Transformata Fouriera (ciągła): dla funkcji f ∈ L¹(ℝ), f: ℝ → ℂ:
  F̂(y) = (1/√(2π)) ∫ e^(-xyi) f(x) dx
• Transformata odwrotna: f(x) = (1/√(2π)) ∫ e^(xyi) F̂(y) dy (jeśli f i F̂ są całkowalne).
• Dyskretna: Z(f) = Σ z(k) e^(jθ), gdzie θ = -2πfk/N, z = x + jy (liczby zespolone).

Własności transformacji Fouriera

1. Przeskalowanie: F(f(ax))(y) = (1/|a|) F̂(y/a); rozciągnięcie sygnału w czasie → skupienie widma na mniejszych pulsacjach.
2. Symetria (dualność): F(f(-x))(y) = F(f(x))(-y); kształt sygnału i widma są wymienialne.
3. Przesunięcie w czasie: F(f(x-a))(y) = e^(-iay) F̂(y); opóźnienie zmienia fazę widma.
4. Przesunięcie w częstotliwości: F(e^(bxi) f(x))(y) = F̂(y-b); modulacja sygnału harmonicznego.
5. Splot w czasie: F(f * g)(y) = √(2π) F̂(y) Ĝ(y); splot w czasie to mnożenie widm.

Szybka Transformacja Fouriera (FFT)

• Algorytm Cooleya-Tukeya: podejście „dziel i rządź”, redukcja złożoności obliczeń.
• Złożoność: O(N log N) vs O(N²) dla klasycznej metody (np. dla N=1024: 5000 mnożeń vs 1M).
• Struktura „motylka”: jedno mnożenie, dodawanie, odejmowanie dla dwóch próbek.

Transformacja Fouriera dla sygnałów nieokresowych

• Stosuje się okna czasowe, by wyodrębnić segment sygnału i uniknąć nieciągłości.
• Typy okien:
  • Boxcar (prostokątne): ostre krawędzie, duże przecieki widma.
  • Blackmana, Hamminga: w(n) = 0.54 - 0.46 cos(2πn/(N-1)), redukują nieciągłości.
  • Hanna, Gauss: tłumią skrajne wartości, minimalizują przeciek widma.
• Przeciek widma: energia sygnału „rozlewa się” na fałszywe częstotliwości; okna redukują ten efekt, ale poszerzają prążki widmowe.

Zastosowania transformacji Fouriera

• Analiza spektralna sygnałów.
• Usuwanie szumów.
• Kompresja stratna (dźwięk, obrazy, wideo).

Transformacja Hilberta - wprowadzenie

• Liniowe przekształcenie całkowe w tej samej dziedzinie (czasowej).
• Definicja: x_i(t) = H[x_r(t)] = (1/π) ∫ (x_r(t-τ)/τ) dτ; splot x_r(t) z 1/(πt).
• Sygnał analityczny: x_c(t) = x_r(t) + j H[x_r(t)].
• Odwrotna transformacja: x_r(t) = H⁻¹[x_i(t)] = -(1/π) ∫ (x_i(t-τ)/τ) dτ.

Związek z transformacją Fouriera

• Transformata Fouriera funkcji 1/(πt): F{1/(πt)} = -j sgn(ω).
• Algorytm obliczania transformacji Hilberta:
  1. Oblicz transformatę Fouriera sygnału x(t): X(ω) = ∫ x(t) e^(-2πft) dt.
  2. Pomnóż przez -j sgn(ω) i wykonaj odwrotną transformatę Fouriera.

Własności transformacji Hilberta

• Amplituda chwilowa (obwiednia): A(t) = |x_c(t)| = √(x_r²(t) + x_i²(t)).
• Faza chwilowa: ω(t) = arctg(Im(x_c(t))/Re(x_c(t))).
• Chwilowa prędkość kątowa: ψ(t) = d/dt ω(t).

Zastosowania transformacji Hilberta

• Analiza obwiedni sygnałów (np. EKG: obliczanie pochodnej i transformacji Hilberta).