Krótko-czasowa transformacja Fouriera (STFT)

• Wada transformacji Fouriera: analiza globalna, brak śledzenia zmian w czasie.
• STFT: analiza czasowo-częstotliwościowa, obserwacja zmian widma w czasie.
• Definicja ciągła: X(τ, ω) = ∫ x(t) w(t-τ) e^{-iωt} dt
• Definicja dyskretna: X(m, ω) = Σ x[n] w[n-m] e^{-jωn}
• Segmentacja sygnału: blok próbek dzielony na segmenty, każdy analizowany osobno.
• Okna czasowe: eliminują gwałtowne cięcia sygnału (np. Hamminga, Gaussa).
• Zasada Heisenberga: szerokość okna to kompromis między rozdzielczością czasową a częstotliwościową.
  • Szerokie okno: dobra rozdzielczość częstotliwościowa, słaba czasowa.
  • Wąskie okno: dobra rozdzielczość czasowa, słaba częstotliwościowa.

Transformacja falkowa - wprowadzenie

• Alternatywa dla STFT: analiza sygnałów niestacjonarnych.
• Różnica: STFT używa funkcji sinusoidalnych, transformacja falkowa – falek.
• Pochodzenie: analiza sygnałów sejsmicznych, skalowanie okna Gaussa (falka Morleta).
• Falka Morleta: ψ(t) = (1/√(2π)) e^{-t²/2} e^{iω₀t}, średnia = 0, w nieskończoności dąży do zera.
• Rodzina falek: powstaje przez skalowanie (s) i translację (t) falki matki.
  • Skala s: odwrotnie proporcjonalna do pseudo-częstotliwości, rozciąga/ściska falkę.
  • Translacja t: przesuwa falkę wzdłuż osi czasu.

Charakterystyka falki

• Średnia = 0 (oscylacyjny charakter).
• Skupiona wokół zera, zwarty nośnik informacji.
• Ortogonalność, ograniczone pasmo w dziedzinie częstotliwości.
• Transformata falkowa: Wf(t,s) = = ∫ f(τ) (1/√s) ψ((τ-t)/s) dτ

Rodziny falek

1. Haar: nieciągła, nośnik [0,1], ψ(t) = -1 (0≤t<1/2), 1 (1/2≤t<1), 0 (poza).
2. Daubechies: gładkość rośnie z rzędem, silna asymetria, liczba współczynników = 2N.
3. Symlets: podobne do Daubechies, różnice od rzędu 8, niewielka asymetria.
4. Biortogonalne: pary falek (dekompozycja/synteza), nieortogonalne, ale ortogonalne względem siebie.
5. Coiflets: mała asymetria, eliminują nieliniowe przesunięcia fazowe, długość filtru = 6N.
6. Mexican hat: ψ(t) = (2/(√(3σ) π^{1/4})) (1 - (t/σ)²) e^{-t²/(2σ²)}.

Ciągła transformacja falkowa (CWT)

• Efektywna do analizy sygnałów niestacjonarnych, lokalizacja gwałtownych zmian.
• Współczynniki: określają podobieństwo między falką a sygnałem, obliczane numerycznie.

Dyskretna transformacja falkowa (DWT)

• Dyskretyzacja: system diadyczny, s = 2^j, t = n*2^j.
• Falka: ψ_{j,n}(t) = 2^{-j/2} ψ(2^{-j}τ-n).
• Współczynniki: d_{j,n} = ∫ f(t) ψ_{j,n}(t) dt (splot sygnału z falką).
• Filtracja: filtry dolno- (H) i górnoprzepustowe (G), współczynniki c(j,n) (aproksymacja), d(j,n) (detale).
• Decymacja: usuwanie co drugiej próbki, zachowanie długości sygnału.
• Piramida falkowa: zbiór współczynników c i d na różnych poziomach dekompozycji.

Odwrotna dyskretna transformacja falkowa (IDWT)

• Rekonstrukcja: f(t) = Σ Σ d_{j,n} ψ_{j,n}(t), sumowanie po wszystkich poziomach i przesunięciach.
• Upsampling: odwrotność decymacji, zwiększenie częstotliwości próbkowania.

Zastosowania transformacji falkowej

• Odszumianie sygnałów 1D i 2D.
• Kompresja obrazów (JPEG 2000).

Metody analizy czasowo-częstotliwościowej

Wprowadzenie

• Analiza częstotliwościowa (transformacja Fouriera) nie nadaje się do sygnałów niestacjonarnych.
• Analiza czasowo-częstotliwościowa (t/f): umożliwia analizę sygnału w czasie i częstotliwości, określając zawartość i momenty występowania składowych.
• Kluczowe metody: STFT, transformacja falkowa, Gabora, Wignera-Ville’a, Stockwella, Hilberta-Huanga.

Transformacja Gabora

• Szczególny przypadek STFT z oknem Gaussa jako funkcją prototypową.
• Ciągła transformacja: G[f](t,ω) = ∫ f(τ) g(τ-t) e^{-iωτ} dτ
• Odwrotna: f(t) = ∫ G[f](t,ω) e^{iωt+π(t-τ)²} dω/(2π)
• Dyskretna: α(m,n) = Σ x(k) γ(k-m) e^{-iωnk/N}, gdzie M, N – liczba punktów, L = NM.
• Charakterystyka:
  • Równoważna decymowanej STFT.
  • Podobna do transformacji falkowej (lokalna aproksymacja falkami).
  • Odwracalna, działa jako bank filtrów (dekompozycja na pasma częstotliwości).
• Zastosowania: przetwarzanie sygnałów, obrazów (wykrywanie krawędzi, generowanie cech), analiza wideo.
• Wada: stała szerokość okna – poprawa rozdzielczości czasowej pogarsza częstotliwościową i odwrotnie.

Transformacja Wignera-Ville’a (WV)

• Definicja: W_x(t,f) = ∫ x(τ+T/2) x^*(t-T/2) e^{-i2πfτ} dτ (Wignera) lub z sygnałem analitycznym (Ville’a).
• Charakterystyka:
  • Najwyższa koncentracja energii w przestrzeni t/f.
  • Funkcja rzeczywista.
  • Całka po czasie: kwadrat modułu transformaty Fouriera.
  • Całka po częstotliwości: energia sygnału.
  • Zawiera składowe pasożytnicze (człony krzyżowe), np. dla s(t) = s₁(t) + s₂(t): WVD_s = WVD_s₁ + WVD_s₂ + 2Re{WVD_s₁,s₂}.
  • Uśrednianie redukuje interferencje, ale zmniejsza rozdzielczość.
• Zastosowania: analiza sygnałów EKG, mowy.
• Wada: nieliniowość, interferencje pasożytnicze.

Transformacja Stockwella (S)

• Uogólnienie STFT i rozwinięcie transformacji falkowej.
• Definicja: S(τ,f) = ∫ y(t) (|f|/√(2π)) e^{-t²f²/2} e^{-i2πft} dt
• Odwrotna: y(t) = ∫ ∫ S(τ,f) dτ e^{i2πft} df
• Dyskretna: S[jT, n/(NT)] = Σ Y[(p+n)/(NT)] e^{-2p²π²/n²} e^{2πipj/N}, n ≠ 0
• Odwrotna dyskretna: y[kT] = Σ (1/N) Σ S[jT, n/(NT)] e^{2πink/N}
• Charakterystyka:
  • Skalowalne okno gaussowskie, wysoka rozdzielczość t/f.
  • Brak składowych pasożytniczych (w przeciwieństwie do WV).
  • Zachowuje informacje o fazie sygnału (odróżnia od transformacji falkowej).
  • Nie spełnia warunku zerowej średniej falki, więc nie jest typową transformacją falkową.
• Zastosowania: ekstrakcja tekstur, redukcja cech, analiza sygnałów wibracyjnych (STSAM, OSES).
• Porównanie:
  • Lepsza od STFT dzięki zmiennej rozdzielczości.
  • Czystsza od WV (brak interferencji).