Metody analizy czasowo-częstotliwościowej

Wprowadzenie

• Analiza częstotliwościowa (transformacja Fouriera) nie nadaje się do sygnałów niestacjonarnych.
• Analiza czasowo-częstotliwościowa (t/f): umożliwia analizę sygnału w czasie i częstotliwości, określając zawartość i momenty występowania składowych.
• Kluczowe metody: STFT, transformacja falkowa, Gabora, Wignera-Ville’a, Stockwella, Hilberta-Huanga.

Transformacja Gabora

• Szczególny przypadek STFT z oknem Gaussa jako funkcją prototypową.
• Ciągła transformacja: G[f](t,ω) = ∫ f(τ) g(τ-t) e^{-iωτ} dτ
• Odwrotna: f(t) = ∫ G[f](t,ω) e^{iωt+π(t-τ)²} dω/(2π)
• Dyskretna: α(m,n) = Σ x(k) γ(k-m) e^{-iωnk/N}, gdzie M, N – liczba punktów, L = NM.
• Charakterystyka:
  • Równoważna decymowanej STFT.
  • Podobna do transformacji falkowej (lokalna aproksymacja falkami).
  • Odwracalna, działa jako bank filtrów (dekompozycja na pasma częstotliwości).
• Zastosowania: przetwarzanie sygnałów, obrazów (wykrywanie krawędzi, generowanie cech), analiza wideo.
• Wada: stała szerokość okna – poprawa rozdzielczości czasowej pogarsza częstotliwościową i odwrotnie.

Transformacja Wignera-Ville’a (WV)

• Definicja: W_x(t,f) = ∫ x(τ+T/2) x^*(t-T/2) e^{-i2πfτ} dτ (Wignera) lub z sygnałem analitycznym (Ville’a).
• Charakterystyka:
  • Najwyższa koncentracja energii w przestrzeni t/f.
  • Funkcja rzeczywista.
  • Całka po czasie: kwadrat modułu transformaty Fouriera.
  • Całka po częstotliwości: energia sygnału.
  • Zawiera składowe pasożytnicze (człony krzyżowe), np. dla s(t) = s₁(t) + s₂(t): WVD_s = WVD_s₁ + WVD_s₂ + 2Re{WVD_s₁,s₂}.
  • Uśrednianie redukuje interferencje, ale zmniejsza rozdzielczość.
• Zastosowania: analiza sygnałów EKG, mowy.
• Wada: nieliniowość, interferencje pasożytnicze.

Transformacja Stockwella (S)

• Uogólnienie STFT i rozwinięcie transformacji falkowej.
• Definicja: S(τ,f) = ∫ y(t) (|f|/√(2π)) e^{-t²f²/2} e^{-i2πft} dt
• Odwrotna: y(t) = ∫ ∫ S(τ,f) dτ e^{i2πft} df
• Dyskretna: S[jT, n/(NT)] = Σ Y[(p+n)/(NT)] e^{-2p²π²/n²} e^{2πipj/N}, n ≠ 0
• Odwrotna dyskretna: y[kT] = Σ (1/N) Σ S[jT, n/(NT)] e^{2πink/N}
• Charakterystyka:
  • Skalowalne okno gaussowskie, wysoka rozdzielczość t/f.
  • Brak składowych pasożytniczych (w przeciwieństwie do WV).
  • Zachowuje informacje o fazie sygnału (odróżnia od transformacji falkowej).
  • Nie spełnia warunku zerowej średniej falki, więc nie jest typową transformacją falkową.
• Zastosowania: ekstrakcja tekstur, redukcja cech, analiza sygnałów wibracyjnych (STSAM, OSES).
• Porównanie:
  • Lepsza od STFT dzięki zmiennej rozdzielczości.
  • Czystsza od WV (brak interferencji).